初等变换为什么不改变矩阵的秩

初等变换是一种对矩阵进行操作的方法，包括交换行、交换列、某行（列）乘以一个非零常数以及某行（列）加上（减去）另一行（列），其目的是将矩阵转化为简化行阶梯形或行最简形。

首先，我们需要理解一个基本概念——秩。矩阵的秩是指它的行（列）向量组的最大线性无关组中所含向量的个数。也就是说，秩表示了矩阵的排列中存在多少个独立的向量。

初等变换不改变矩阵的秩，即进行初等变换后，矩阵所包含的线性无关组的向量个数不变。这是因为初等变换本质上相当于在矩阵的行（列）向量组中进行操作，而向量之间的线性相关性是保持不变的。

举例来说，对于矩阵A，其秩为r，即存在最大的线性无关组含有r个向量。我们根据这个线性无关组可以将矩阵A的部分行（列）进行线性组合得到行（列）向量组B。

在进行初等变换时，我们只对矩阵A的行（列）进行操作，将其转化为简化行阶梯形或行最简形。这些操作不影响矩阵A的行（列）向量组B的线性相关性，因为每一次操作都可以通过矩阵乘法和矩阵加法等运算进行还原。

具体来说，交换行（列）不改变向量的线性相关性。对某行（列）乘以一个非零常数相当于对该向量进行放缩，不改变线性相关性。而对某行（列）加上（减去）另一行（列）相当于通过线性组合将两个向量合并为一个向量，同样不改变线性相关性。

因此，无论对矩阵进行多少次初等变换，所得到的矩阵的秩仍然是r，即不改变矩阵的秩。

总结起来，初等变换不改变矩阵的秩的原因是矩阵的秩本质上是由其所包含的线性无关组的向量个数决定的，而初等变换只对矩阵的行（列）进行操作，不改变向量之间的线性相关性。因此，初等变换不会改变矩阵的秩。